найти промежутки возрастания и убывания функций f(x) = 2x3-3x2-6x+5
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 6x + 5 \), нам необходимо следовать нескольким шагам:
Найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(6x) + \frac{d}{dx}(5) = 6x^2 - 6x - 6. \]
Упростим производную: \[ f'(x) = 6(x^2 - x - 1). \]
Найдем корни производной. Для этого решим уравнение: \[ x^2 - x - 1 = 0. \] Используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. \] Таким образом, корни производной: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}. \]
Определение знака производной. Нужно проверить знак \( f'(x) \) на промежутках, определённых корнями:
Определим промежутки: \( (-\infty, x_2) \), \( (x_2, x_1) \), \( (x_1, +\infty) \).
Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в производную.
Для \( x < x_2 \) (например, \( x = -1 \)): \[ f'(-1) = 6((-1)^2 - (-1) - 1) = 6(1 + 1 - 1) = 6 > 0 \quad (\text{возрастает}). \]
Для \( x_2 < x < x_1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 6(0^2 - 0 - 1) = 6(-1) = -6 < 0 \quad (\text{убывает}). \]
Для \( x > x_1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 6(2^2 - 2 - 1) = 6(4 - 2 - 1) = 6(1) = 6 > 0 \quad (\text{возрастает}). \]
Итог. Теперь мы можем записать промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на интервалах: \( (-\infty, x_2) \) и \( (x_1, +\infty) \).
- Функция убывает на интервале: \( (x_2, x_1) \).
Таким образом, мы успешно нашли промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) \). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
