2cos²x + cosx-1=0

Давайте решим уравнение \(2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\).

1. Преобразуем уравнение: Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Обозначим \( y = \cos x \). Тогда уравнение принимает вид: \[ 2y^2 + y - 1 = 0. \]

2. Решение квадратного уравнения: Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 2 \), \( b = 1 \), а \( c = -1 \).

   Подставим значения: \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}. \] Это упрощается до: \[ y = \frac{-1 \pm 3}{4}. \]

   Теперь решим для двух случаев:

   1. \( y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
   2. \( y = \frac{-4}{4} = -1 \)

3. Найдем углы:

   • Если \( \cos x = \frac{1}{2} \), то \( x \) может быть \( \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) или \( -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.
   • Если \( \cos x = -1 \), то \( x = \pi + 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \( 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \) выражается через: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pi + 2k\pi. \] Где \( k \) — любое целое число.