Найдите значение выражения: х(х+ 1)(x+2)(x+3) при х=√5-3/2

Давайте решим указанное выражение: \( x(x+1)(x+2)(x+3) \) при \( x = \sqrt{5} - \frac{3}{2} \).

Сначала подставим значение \( x \) в выражение:

1. Вычисляем \( x + 1 \): \[ x + 1 = \left(\sqrt{5} - \frac{3}{2}\right) + 1 = \sqrt{5} - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \sqrt{5} - \frac{1}{2} \]

2. Вычисляем \( x + 2 \): \[ x + 2 = \left(\sqrt{5} - \frac{3}{2}\right) + 2 = \sqrt{5} - \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \sqrt{5} + \frac{1}{2} \]

3. Вычисляем \( x + 3 \): \[ x + 3 = \left(\sqrt{5} - \frac{3}{2}\right) + 3 = \sqrt{5} - \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \sqrt{5} + \frac{3}{2} \]

Теперь мы можем подставить все эти значения в исходное выражение: \[ y = x(x+1)(x+2)(x+3) = \left(\sqrt{5} - \frac{3}{2}\right)\left(\sqrt{5} - \frac{1}{2}\right)\left(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\right)\left(\sqrt{5} + \frac{3}{2}\right) \]

Это выражение можно упростить, сгруппировав произведения: \[ y = \left(\sqrt{5} - \frac{3}{2}\right) \left(\sqrt{5} + \frac{3}{2}\right) \cdot \left(\sqrt{5} - \frac{1}{2}\right) \left(\sqrt{5} + \frac{1}{2}\right) \]

Используем формулу разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]

Сначала найдем первое произведение: \[ (\sqrt{5})^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 5 - \frac{9}{4} = \frac{20}{4} - \frac{9}{4} = \frac{11}{4} \]

Теперь найдем второе произведение: \[ (\sqrt{5})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 5 - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} - \frac{1}{4} = \frac{19}{4} \]

Перемножим два результата: \[ y = \left(\frac{11}{4}\right) \left(\frac{19}{4}\right) = \frac{209}{16} \]

Таким образом, значение выражения \( x(x+1)(x+2)(x+3) \) при \( x = \sqrt{5} - \frac{3}{2} \) равно \( \frac{209}{16} \).