Найти косинусы углов треугольника с координатами A(5; -5; -1) B(5; -3; -1) C(4; -3; 0)
Для нахождения косинусов углов треугольника ABC с заданными координатами, необходимо сначала определить векторы сторон треугольника, а затем использовать скалярное произведение для нахождения косинусов углов.
Координаты точек:
- \( A(5, -5, -1) \)
- \( B(5, -3, -1) \)
- \( C(4, -3, 0) \)
Вычислим векторы сторон треугольника:
Вектор \( AB \): \[ AB = B - A = (5 - 5, -3 - (-5), -1 - (-1)) = (0, 2, 0) \]
Вектор \( AC \): \[ AC = C - A = (4 - 5, -3 - (-5), 0 - (-1)) = (-1, 2, 1) \]
Вектор \( BC \): \[ BC = C - B = (4 - 5, -3 - (-3), 0 - (-1)) = (-1, 0, 1) \]
Вычислим длины векторов:
Длина вектора \( AB \): \[ |AB| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]
Длина вектора \( AC \): \[ |AC| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]
Длина вектора \( BC \): \[ |BC| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]
Вычислим скалярные произведения:
Скалярное произведение \( AB \) и \( AC \): \[ AB \cdot AC = (0, 2, 0) \cdot (-1, 2, 1) = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4 \]
Скалярное произведение \( AB \) и \( BC \): \[ AB \cdot BC = (0, 2, 0) \cdot (-1, 0, 1) = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 \]
Скалярное произведение \( AC \) и \( BC \): \[ AC \cdot BC = (-1, 2, 1) \cdot (-1, 0, 1) = (-1)(-1) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \]
Теперь найдем косинусы углов треугольника:
Косинус угла \( A \): \[ \cos A = \frac{AB \cdot AC}{|AB| |AC|} = \frac{4}{2 \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]
Косинус угла \( B \): \[ \cos B = \frac{AB \cdot BC}{|AB| |BC|} = \frac{0}{2 \sqrt{2}} = 0 \]
Косинус угла \( C \): \[ \cos C = \frac{AC \cdot BC}{|AC| |BC|} = \frac{2}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Резюме:
Косинусы углов треугольника:
- \( \cos A = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
- \( \cos B = 0 \)
- \( \cos C = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Таким образом, мы нашли косинусы углов треугольника с данными вершинами.
