Дана последовательность 2 1 . 3 2 n n a n Верно утверждение: 1) Последовательность n a является бесконечно большой; 2) Последовательность n a сходится; 3) Если последовательность n является бесконечно малой, то 4 lim 5 1 1 n n n a ;
Давайте внимательно рассмотрим последовательность, заданную формулой:
\[ a_n = \frac{2 + 3n}{n} \]
Для анализа свойств этой последовательности, начнем с того, как она ведет себя при больших значениях \( n \).
Преобразование последовательности: \[ a_n = \frac{2}{n} + 3 \] Когда \( n \) стремится к бесконечности, первый член \( \frac{2}{n} \) стремится к нулю. Таким образом, мы можем сказать, что: \[ \lim_{n \to \infty} a_n = 3 \] Это означает, что последовательность сходится.
Свойство бесконечно большой последовательности: Последовательность \( a_n \) не является бесконечно большой, так как она имеет предел (сходится) и не растет до бесконечности. В этом случае по свойствам последовательностей можно утверждать, что:
- Утверждение 1 неверно: последовательность не бесконечно велика.
- Утверждение 2 верно: последовательность сходится к 3.
Проверим условие о бесконечно малой последовательности: Будем предполагать, что последовательность \( \beta_n \) действительно является бесконечно малой. Если это так, по определению: \[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = 0 \] Теперь рассмотрим лимит: \[ \lim_{n \to \infty} \left(5 - \frac{1}{\beta_n} + a_n\right) \] Мы знаем, что \( a_n \) стремится к 3, следовательно: \[ \lim_{n \to \infty} \left(5 - \frac{1}{\beta_n} + 3\right) = 8 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\beta_n} \] Так как \(\beta_n\) бесконечно малая, \( \frac{1}{\beta_n} \) будет стремиться к бесконечности. Таким образом, лимит будет также стремиться к бесконечности.
Теперь можем рассмотреть утверждение 4:
- Если \( \beta_n \) действительно бесконечно малая, тогда \( \lim_{n \to \infty} (5 - \frac{1}{\beta_n} + a_n) = -\infty \), что указывает на то, что утверждение не является верным.
Подводя итог:
- Утверждение 1 неверно.
- Утверждение 2 верно.
- Утверждение 4 тоже неверно, при условии, что последовательность \( \beta_n \) бесконечно малая.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в других темах, не стесняйтесь обращаться!
