Найти косинусы углов треугольника с координатами A(5; -5; -1) B(5; -3; -1) C(4; -3; 0)

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными координатами вершин A, B и C, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти векторы сторон треугольника:

   • Вектор AB = B - A = (5, -3, -1) - (5, -5, -1) = (0, 2, 0)
   • Вектор AC = C - A = (4, -3, 0) - (5, -5, -1) = (-1, 2, 1)
   • Вектор BC = C - B = (4, -3, 0) - (5, -3, -1) = (-1, 0, 1)

2. Найти длины сторон треугольника:

   • Длина AB = ||AB|| = √(0^2 + 2^2 + 0^2) = √4 = 2
   • Длина AC = ||AC|| = √((-1)^2 + 2^2 + 1^2) = √(1 + 4 + 1) = √6
   • Длина BC = ||BC|| = √((-1)^2 + 0^2 + 1^2) = √(1 + 0 + 1) = √2

3. Найти косинусы углов:

   • Косинус угла A (между векторами AB и AC): \[ \cos(A) = \frac{AB \cdot AC}{||AB|| \cdot ||AC||} \] Скалярное произведение AB и AC: \[ AB \cdot AC = (0, 2, 0) \cdot (-1, 2, 1) = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 0 + 4 + 0 = 4 \] Таким образом, \[ \cos(A) = \frac{4}{2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

   • Косинус угла B: \[ \cos(B) = \frac{AB \cdot BC}{||AB|| \cdot ||BC||} \] Скалярное произведение AB и BC: \[ AB \cdot BC = (0, 2, 0) \cdot (-1, 0, 1) = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 + 0 + 0 = 0 \] Таким образом, \[ \cos(B) = \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2}} = 0 \]

   • Косинус угла C: \[ \cos(C) = \frac{AC \cdot BC}{||AC|| \cdot ||BC||} \] Скалярное произведение AC и BC: \[ AC \cdot BC = (-1, 2, 1) \cdot (-1, 0, 1) = -1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \] Таким образом, \[ \cos(C) = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

4. Итоги:

   • Косинус угла A: \(\cos(A) = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
   • Косинус угла B: \(\cos(B) = 0\)
   • Косинус угла C: \(\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Это значения косинусов углов треугольника ABC.