Найдите остаток от деления многочлена x5-x4-8x3-3x2+8x+20 на двучлен x+2 . Выполните действия уголком, по теореме Безу и по схеме Горнера

Для нахождения остатка от деления многочлена \( P(x) = x^5 - x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 8x + 20 \) на двучлен \( x + 2 \), можно воспользоваться теоремой Безу и схемой Горнера.

1. Теорема Безу

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена \( P(x) \) на двучлен \( x - a \) равен \( P(a) \). В нашем случае, двучлен \( x + 2 \) можно записать в виде \( x - (-2) \). Следовательно, нам нужно найти \( P(-2) \):

\[ P(-2) = (-2)^5 - (-2)^4 - 8(-2)^3 - 3(-2)^2 + 8(-2) + 20 \]

Посчитаем каждый член:

1. \((-2)^5 = -32\)
2. \((-2)^4 = 16\)
3. \(-8(-2)^3 = 16\) (поскольку \((-2)^3 = -8\))
4. \(-3(-2)^2 = -3 \cdot 4 = -12\)
5. \(8(-2) = -16\)
6. \(20 = 20\)

Теперь подставим эти значения:

\[ P(-2) = -32 - 16 + 16 - 12 - 16 + 20 \]

Считаем:

\(-32 - 16 = -48\)

\(-48 + 16 = -32\)

\(-32 - 12 = -44\)

\(-44 - 16 = -60\)

\(-60 + 20 = -40\)

Таким образом, остаток от деления \( P(x) \) на \( x + 2 \) равен \(-40\).

2. Схема Горнера

Теперь давайте применим схему Горнера для деления \( P(x) \) на \( x + 2 \). Мы будем использовать значение \( -2 \).

Запишем коэффициенты многочлена: \( [1, -1, -8, -3, 8, 20] \).

Применим схему Горнера:

-2 | 1    -1    -8    -3    8    20
   |       -2     6    4   -8   -40
---------------------------------------
      1    -3    -2    1   -40

Полученные числа в последнем ряду представляют коэффициенты частного, а последний элемент этой строки \(-40\) — это остаток.

Итак, остаток от деления многочлена \( P(x) \) на двучлен \( x + 2 \) равен \(-40\) как по теореме Безу, так и по схеме Горнера.