3. Автомобиль, движущийся со скоростью 72 км/ч, начал тормо зить до полной остановки, двигаясь с постоянным ускорением. Тормозной путь автомобиля оказался равным 80 м. За какой промежуток времени автомобиль прошёл первую половину тормозного пути
Чтобы решить данную задачу, начнем с определения некоторых параметров.
Скорость автомобиля: 72 км/ч необходимо перевести в метры в секунду (м/с): \[ 72 \, \text{км/ч} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20 \, \text{м/с} \]
Тормозной путь: 80 м. Первая половина тормозного пути составит: \[ \frac{80}{2} = 40 \, \text{м} \]
Теперь используем уравнение движения с постоянным ускорением: \[ s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} \] где \(s\) – путь (в данном случае 40 м), \(v_0\) – начальная скорость (20 м/с), \(t\) – время, \(a\) – ускорение.
Для нахождения ускорения воспользуемся другим уравнением движения. Мы знаем, что конечная скорость равна 0, и можем воспользоваться формулой: \[ v^2 = v_0^2 + 2as \] Подставляем известные значения (где \(v = 0\)): \[ 0 = (20)^2 + 2a(80) \] \[ 0 = 400 + 160a \implies -400 = 160a \implies a = -\frac{400}{160} = -2.5 \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставим ускорение в уравнение для найденного пути, чтобы найти время: \[ 40 = 20t + \frac{-2.5t^2}{2} \] Упрощаем уравнение: \[ 40 = 20t - 1.25t^2 \] Приведем все к одному уравнению: \[ 1.25t^2 - 20t + 40 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1.25 \cdot 40 = 400 - 200 = 200 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{200}}{2 \cdot 1.25} = \frac{20 \pm 14.14}{2.5} \] Рассчитаем два возможных значения для времени: \[ t_1 = \frac{34.14}{2.5} \approx 13.66 \, \text{с} \] \[ t_2 = \frac{5.86}{2.5} \approx 2.34 \, \text{с} \]
Нам необходимо время, необходимое для прохождения первой половины тормозного пути, которое будет: \[ t \approx 2.34 \, \text{с} \]
Таким образом, автомобиль прошёл первую половину тормозного пути за примерно \(2.34\) секунды.
