В треугольнике ABC известно что AB=14 см, <A=20°, <B=70°. Найди медиану треугольника проведённую к строне AB

Чтобы найти медиану треугольника ABC, проведенную к стороне AB, сначала нужно выяснить длину стороны AC и BC с использованием закона синусов.

1. Сначала найдем угол C: Угол C можно найти, используя сумму углов треугольника: \[ C = 180° - A - B = 180° - 20° - 70° = 90°. \]

2. Теперь мы знаем, что треугольник ABC — прямоугольный (угол C равен 90°). Следовательно, мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике для нахождения сторон AC и BC.

3. По определению тангенса: \[ \tan(A) = \frac{BC}{AC}. \] И по определению синуса: \[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin(A) = 14 \cdot \sin(20°). \] Используя значение \(\sin(20°) \approx 0.3420\): \[ BC \approx 14 \cdot 0.3420 \approx 4.788 \text{ см}. \]

4. Теперь найдем AC: По определению косинуса: \[ \cos(A) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos(A) = 14 \cdot \cos(20°). \] Используя значение \(\cos(20°) \approx 0.9397\): \[ AC \approx 14 \cdot 0.9397 \approx 13.156 \text{ см}. \]

5. Теперь у нас есть длины сторон: AC ≈ 13.156 см и BC ≈ 4.788 см.

6. Теперь можем найти медиану, проведенную к стороне AB. Медиана m к стороне AB (где a = AC и b = BC) дается формулой: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}, \] где c = AB.

   Подставляя известные значения: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(13.156)^2 + 2(4.788)^2 - (14)^2}. \]

7. Считаем: \[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2(173.071) + 2(22.948) - 196} \approx \frac{1}{2} \sqrt{346.142 + 45.896 - 196} \approx \frac{1}{2} \sqrt{196.038} \approx \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ см}. \]

Таким образом, длина медианы, проведенной к стороне AB, составляет приблизительно 7 см.