Во сколько раз объем первого шара меньше объёма второго, если поверхность первого шара в 4 раза меньше поверхности второго
Чтобы ответить на вопрос, давайте сначала рассмотрим, как связаны объем и площадь поверхности шара.
Объем шара (V) и его площадь поверхности (S) выражаются следующим образом:
- Объем шара: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
- Площадь поверхности шара: \( S = 4 \pi r^2 \)
Пусть радиусы двух шаров будут \( r_1 \) и \( r_2 \). Из условия задачи известно, что площадь поверхности первого шара в 4 раза меньше площади поверхности второго шара:
\[ S_1 = \frac{1}{4} S_2 \]
Подставим формулы для площадей:
\[ 4 \pi r_1^2 = \frac{1}{4} (4 \pi r_2^2) \]
Сократим \( 4 \pi \):
\[ r_1^2 = \frac{1}{4} r_2^2 \]
Теперь извлечем корень из обеих сторон уравнения:
\[ r_1 = \frac{1}{2} r_2 \]
Теперь мы можем найти объемы обоих шаров:
\[ V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2} r_2\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{1}{8} r_2^3 = \frac{1}{6} \pi r_2^3 \]
\[ V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3 \]
Теперь найдем, во сколько раз объем первого шара меньше объема второго:
\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_2^3}{\frac{1}{6} \pi r_2^3} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8 \]
Таким образом, объем первого шара в 8 раз меньше объема второго шара.
