(2x - 5)²≤(5x - 2)²
Чтобы решить неравенство \((2x - 5)² ≤ (5x - 2)²\), начнем с раскрытия квадратов на обеих сторонах неравенства.
- Раскроем скобки:
\((2x - 5)² = 4x² - 20x + 25\)
\((5x - 2)² = 25x² - 20x + 4\)
Теперь подставим эти выражения в неравенство:
\[4x² - 20x + 25 ≤ 25x² - 20x + 4\]
- Переносим все термины на одну сторону неравенства:
\[4x² - 20x + 25 - 25x² + 20x - 4 ≤ 0\]
Упрощаем:
\[-21x² + 21 ≤ 0\]
- Упростим это выражение:
\[21 - 21x² ≤ 0\]
Делим на 21 (изменяя знак неравенства при делении на отрицательное число):
\[x² - 1 ≥ 0\]
- Теперь решим неравенство \(x² - 1 ≥ 0\):
Это можно записать как:
\[(x - 1)(x + 1) ≥ 0\]
- Найдем нули функции:
Решим уравнение:
\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
\(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
Теперь исследуем знаки на интервалах \((-∞, -1)\), \((-1, 1)\) и \((1, +∞)\):
- Для \(x < -1\): например, возьмем \(x = -2\): \((-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) ≥ 0\) (положительно)
- Для \(-1 < x < 1\): например, возьмем \(x = 0\): \((0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) < 0\) (отрицательно)
- Для \(x > 1\): например, возьмем \(x = 2\): \((2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) ≥ 0\) (положительно)
- Таким образом, решение неравенства:
\[x ≤ -1 \text{ или } x ≥ 1\]
Можно записать это решение в виде интервалов:
([-∞, -1] ∪ [1, +∞)]
Это и есть окончательное решение данного неравенства! Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать.
