Lim sin2x²/ x²

Для нахождения предела \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2}\) мы можем использовать метод замены переменных и свойства пределов.

Сначала заметим, что при \(x \to 0\), \(2x^2 \to 0\), и мы можем выразить предел следующим образом:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{2x^2} \cdot 2 \]

Теперь мы знаем, что лимит \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1\). Если обозначить \(u = 2x^2\), то когда \(x \to 0\), \(u \to 0\) также. При этом \(2x^2 = u\) означает, что \(x^2 = \frac{u}{2}\).

Теперь перепишем предел:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{\frac{u}{2}} \cdot 2 = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 \]

Таким образом, предел равен:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x^2)}{x^2} = 2 \]

Если у вас возникли дополнительные вопросы по этой теме или другим разделам математики, не стесняйтесь обращаться!