lim sin²x/x² применять правило лопитяля
Чтобы найти предел \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2}\), мы можем применить правило Лопиталя, которое применяется в случаях неопределённости вида \(\frac{0}{0}\).
Проверим, что у нас действительно неопределённость: Когда \(x \to 0\): \(\sin(0) = 0\), значит \(\sin^2(0) = 0\) и \(x^2 = 0\). Таким образом, у нас имеется \(\frac{0}{0}\).
Применим правило Лопиталя: Правило Лопиталя утверждает, что если у нас есть предел в виде \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то мы можем взять производные числителя и знаменателя: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{d}{dx}(\sin^2 x) \bigg/ \frac{d}{dx}(x^2) \]
Находим производные: Производная \(\sin^2 x\) по правилу произведения: \[ \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x) \] Производная \(x^2\) равна \(2x\).
Запишем предел с новыми производными: Теперь мы имеем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \] Это также неопределённость вида \(\frac{0}{0}\).
Применяем правило Лопиталя снова: Снова берём производные: \[ \frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 2\cos(2x) \] \(\frac{d}{dx}(2x) = 2\).
Запишем предел ещё раз: Получаем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{2} = \lim_{x \to 0} \cos(2x) \]
Найдем предел: Когда \(x \to 0\), \(\cos(2x) \to \cos(0) = 1\).
Таким образом, окончательно мы получаем: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим учебным материалам, не стесняйтесь спрашивать!
