в треугольнике АВС угол А=60 градусов угол В=45 ВС=5корень из 6.найти АС

Для решения задачи по нахождению стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с заданными углами и стороной, можно воспользоваться законом синусов.

Дано:

• Угол \( A = 60^\circ \)
• Угол \( B = 45^\circ \)
• Сторона \( BC = 5\sqrt{6} \)

Сначала найдем угол \( C \) с помощью суммы углов треугольника: \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь по закону синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \), и соответственно:

• \( a = 5\sqrt{6} \) (сторона напротив угла \( A \)),
• \( b = AC \) (сторона напротив угла \( B \)),
• \( c \) мы не знаем, но можем выразить через \( a \) и \( b \).

Используем закон синусов для нахождения \( AC \): \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} \]

Зная, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставим их в уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упрощаем правую часть: \[ \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2} \]

Теперь подставляем в уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \]

Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ AC = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 \cdot \frac{2}{2} = 10 \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 10 \).