. Используя координаты точек А(-5,-2,-6), В(3,4,5), С(2,-5,4) нам нужно найти проекцию вектора с d=BC
Чтобы найти проекцию вектора \( \mathbf{d} = \mathbf{BC} \) на вектор \( \mathbf{AB} \), сначала нам нужно вычислить векторы \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{BC} \).
Вычислим вектор \( \mathbf{AB} \): \[ \mathbf{A}(-5, -2, -6), \quad \mathbf{B}(3, 4, 5) \] \[ \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (3 - (-5), 4 - (-2), 5 - (-6)) = (8, 6, 11) \]
Вычислим вектор \( \mathbf{BC} \): \[ \mathbf{C}(2, -5, 4) \] \[ \mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} = (2 - 3, -5 - 4, 4 - 5) = (-1, -9, -1) \]
Теперь у нас есть векторы \( \mathbf{AB} = (8, 6, 11) \) и \( \mathbf{BC} = (-1, -9, -1) \).
Найдём проекцию вектора \( \mathbf{BC} \) на вектор \( \mathbf{AB} \) с помощью формулы: \[ \text{proj}_{\mathbf{AB}} \mathbf{BC} = \frac{\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB}}{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB}} \cdot \mathbf{AB} \]
Сначала найдем скалярное произведение \( \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB} \): \[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AB} = (-1) \cdot 8 + (-9) \cdot 6 + (-1) \cdot 11 = -8 - 54 - 11 = -73 \]
Теперь найдём скалярное произведение \( \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB} \): \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB} = 8^2 + 6^2 + 11^2 = 64 + 36 + 121 = 221 \]
Теперь подставим значения в формулу проекции: \[ \text{proj}_{\mathbf{AB}} \mathbf{BC} = \frac{-73}{221} \cdot (8, 6, 11) \] \[ = \left(-\frac{73 \cdot 8}{221}, -\frac{73 \cdot 6}{221}, -\frac{73 \cdot 11}{221}\right) \] \[ = \left(-\frac{584}{221}, -\frac{438}{221}, -\frac{803}{221}\right) \]
Итак, проекция вектора \( \mathbf{BC} \) на вектор \( \mathbf{AB} \) равна: \[ \text{proj}_{\mathbf{AB}} \mathbf{BC} = \left(-\frac{584}{221}, -\frac{438}{221}, -\frac{803}{221}\right) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснение по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
