решить логарифмические уравнения log¹/⁷(x²+x-5)=-1
Конечно! Давайте решим логарифмическое уравнение:
\[ \log_{1/7}(x^2 + x - 5) = -1. \]
Для начала, вспомним, что если \(\log_a(b) = c\), то это эквивалентно \(b = a^c\). В нашем случае:
\[ x^2 + x - 5 = \left(\frac{1}{7}\right)^{-1}. \]
Поскольку \(\left(\frac{1}{7}\right)^{-1} = 7\), мы имеем:
\[ x^2 + x - 5 = 7. \]
Теперь, перенесем \(7\) в левую часть уравнения:
\[ x^2 + x - 5 - 7 = 0, \]
что упрощается до:
\[ x^2 + x - 12 = 0. \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Отыщем корни с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня. Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}. \]
Теперь вычислим эти корни:
- \(x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
- \(x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
Теперь у нас есть два возможных решения: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -4\). Однако нам нужно проверить, являются ли они допустимыми для логарифмического уравнения, так как аргумент логарифма должен быть положительным.
Проверим оба значения:
Для \(x_1 = 3\): \[ x^2 + x - 5 = 3^2 + 3 - 5 = 9 + 3 - 5 = 7 \quad (\text{положительное значение}). \]
Для \(x_2 = -4\): \[ x^2 + x - 5 = (-4)^2 + (-4) - 5 = 16 - 4 - 5 = 7 \quad (\text{положительное значение}). \]
Оба значения \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -4\) приводят к положительному аргументу логарифма. Следовательно, оба корня являются верными.
Таким образом, решение уравнения:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -4. \]
