y = x²+2x+3, если х> -3. x+9, при х<-3, и определите, при каких значениях и прямая ут имеет с графиком ровно две общие
Чтобы разобраться с данной задачей, давайте сначала запишем функции, которые нам даны:
- Для \( x > -3 \): \( y = x^2 + 2x + 3 \)
- Для \( x < -3 \): \( y = x + 9 \)
Теперь, чтобы определить, при каких значениях прямая \( y = k \) будет иметь с графиком параболы ровно две общие точки, рассмотрим оба случая.
1. Анализ параболы \( y = x^2 + 2x + 3 \)
Эта функция является параболой, открывающейся вверх. Для того чтобы найти количество общих точек с прямой \( y = k \), нужно проанализировать уравнение:
\[ x^2 + 2x + (3 - k) = 0 \]
Чтобы прямая пересекала параболу ровно в двух точках, дискриминант этого уравнения должен быть положительным:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - k) > 0 \] \[ D = 4 - 4(3 - k) > 0 \] \[ 4 - 12 + 4k > 0 \] \[ 4k - 8 > 0 \] \[ k > 2 \]
Таким образом, для того чтобы прямая \( y = k \) имела ровно две общие точки с параболой, необходимо, чтобы \( k > 2 \).
2. Анализ прямой \( y = x + 9 \)
Теперь рассмотрим вторую функцию для \( x < -3 \):
\[ y = x + 9 \]
Чтобы эта прямая пересекала параболу в двух точках, нам нужно решить уравнение:
\[ x^2 + 2x + 3 = x + 9 \] \[ x^2 + 2x - x + 3 - 9 = 0 \] \[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Теперь находим дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 > 0 \]
Дискриминант положительный, так что прямая \( y = x + 9 \) пересекает параболу в двух точках.
Таким образом, для описанного условия:
- Прямая \( y = k \) будет иметь ровно две общие точки с графиком параболы \( y = x^2 + 2x + 3 \), если \( k > 2 \).
- Прямая \( y = x + 9 \) всегда будет иметь ровно две общие точки с параболой.
Надеюсь, это объяснение помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.
