Дан куб ABCDA1B1C1D1. найдите угол между прямыми A1B и AC1.
Чтобы найти угол между прямыми \( A_1B \) и \( AC_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения координат вершин куба. Предположим, что куб имеет сторону длиной \( a \) и расположен в трехмерном пространстве следующим образом:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A_1(0, 0, a) \)
- \( B_1(a, 0, a) \)
- \( C_1(a, a, a) \)
- \( D_1(0, a, a) \)
Теперь запишем векторные представления для прямых \( A_1B \) и \( AC_1 \):
Вектор \( A_1B \):
\( A_1B = B - A_1 = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a) \)
Вектор \( AC_1 \):
\( AC_1 = C_1 - A = (a, a, a) - (0, 0, 0) = (a, a, a) \)
Для нахождения угла между векторами воспользуемся формулой для косинуса угла:
\[ \cos \theta = \frac{A_1B \cdot AC_1}{|A_1B| \cdot |AC_1|} \]
- Найдем скалярное произведение \( A_1B \cdot AC_1 \):
\[ A_1B \cdot AC_1 = (a, 0, -a) \cdot (a, a, a) = a^2 + 0 - a^2 = 0 \]
- Найдём длины векторов:
\[ |A_1B| = \sqrt{a^2 + 0 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
\[ |AC_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \]
- Подставим все значения в формулу для косинуса:
\[ \cos \theta = \frac{0}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{3})} = 0 \]
Если косинус угла равен нулю, значит угол \( \theta \) равен \( 90^\circ \).
Таким образом, угол между прямыми \( A_1B \) и \( AC_1 \) равен \( 90^\circ \).
