Два маленьких шарика с одинаковыми массами т, расстояние между которыми равно 50 см, притягиваются друг к другу с гравитационными силами F. На каком расстоянии следует расположить два других шарика массами 2m и 0,5m, чтобы модуль сил их взаимного гравитационного притяжения увеличился в 4 раза?

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним закон всемирного тяготения, который описывается формулой:

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

где \( F \) — сила гравитационного притяжения, \( G \) — гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы шариков, а \( r \) — расстояние между ними.

У нас есть два шарика с одинаковыми массами \( m \), расстояние между которыми равно 50 см. Из формулы для силы гравитационного притяжения мы можем записать:

\[ F = G \frac{m \cdot m}{(0.5)^2} \]

Теперь рассмотрим два других шарика с массами \( 2m \) и \( 0.5m \). Мы хотим, чтобы модуль силы их взаимного гравитационного притяжения увеличился в 4 раза. Если обозначить новое расстояние между ними как \( r' \), то можно записать следующее уравнение:

\[ F' = G \frac{(2m) \cdot (0.5m)}{(r')^2} \]

Мы хотим, чтобы \( F' = 4F \). Таким образом,

\[ G \frac{(2m) \cdot (0.5m)}{(r')^2} = 4 \left( G \frac{m \cdot m}{(0.5)^2} \right) \]

Сократим \( G \) и \( m^2 \):

\[ \frac{(2) \cdot (0.5)}{(r')^2} = 4 \cdot \frac{1}{(0.5)^2} \]

Упрощаем левую часть:

\[ \frac{1}{(r')^2} = \frac{4}{0.25} \]

Это дает:

\[ \frac{1}{(r')^2} = 16 \]

Теперь находим \( r' \):

\[ (r')^2 = \frac{1}{16} \]

\[ r' = \frac{1}{4} \text{ м} = 25 \text{ см} \]

Таким образом, два других шарика следует расположить на расстоянии 25 см друг от друга, чтобы модуль силы их взаимного гравитационного притяжения увеличился в 4 раза.