При каком значении x векторы a(x+1:4), 6(-3; 2x) взаимно перпендикулярны?
Чтобы векторы были взаимно перпендикулярны, скалярное произведение этих векторов должно быть равно нулю.
Рассмотрим векторы:
- Вектор \( a = (x + 1, 4) \)
- Вектор \( b = (6, -3, 2x) \)
Поскольку вектор \( b \) имеет трехмерную форму, а вектор \( a \) — двумерную, мы предположим, что второй компонент вектора \( b \) равен нулю, что соответствует проекции на двумерную плоскость. Поэтому для вычисления скалярного произведения нам нужно учитывать только первые два элемента вектора \( b - (6, 2x) \).
Теперь давайте найдем скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \):
\[ a \cdot b = (x + 1) \cdot 6 + 4 \cdot 2x \]
Распишем это:
\[ a \cdot b = 6(x + 1) + 8x \] \[ = 6x + 6 + 8x \] \[ = 14x + 6 \]
Чтобы векторы были взаимно перпендикулярны, мы приравниваем это выражение к нулю:
\[ 14x + 6 = 0 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ 14x = -6 \] \[ x = -\frac{6}{14} = -\frac{3}{7} \]
Таким образом, векторы \( a(x+1:4) \) и \( b(6, -3, 2x) \) будут взаимно перпендикулярны при \( x = -\frac{3}{7} \).
