Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=3sinx*cosx+1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = 3 \sin x \cos x + 1 \) начнем с упрощения выражения.

Используя тригонометрическую идентичность, заметим, что \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \). Таким образом, можем записать:

\[ 3 \sin x \cos x = \frac{3}{2} \sin(2x) \]

Тогда функция преобразуется в:

\[ y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 \]

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 \).

Зная, что синус колеблется в пределах от -1 до 1:

\[ -1 \leq \sin(2x) \leq 1 \]

Умножив это неравенство на \(\frac{3}{2}\), получаем:

\[ -\frac{3}{2} \leq \frac{3}{2} \sin(2x) \leq \frac{3}{2} \]

Теперь добавим 1 к каждому члену неравенства:

\[ 1 - \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2} \sin(2x) + 1 \leq 1 + \frac{3}{2} \]

Это упрощается до:

\[ -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{5}{2} \]

Итак, наименьшее значение функции \( y \) равно \( -\frac{1}{2} \), а наибольшее значение равно \( \frac{5}{2} \).