Две звезды одинаковой массы притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю Г. Во сколько раз увеличился бы модуль сил притяжения между звёздами, если расстояние между их центрами уменьшить в 2 раза, а массу каждой звезды увеличить в 3 раза?
Чтобы решить эту задачу, применим закон всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения \( F \) между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
Где:
- \( F \) — сила притяжения,
- \( G \) — гравитационная постоянная,
- \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел,
- \( r \) — расстояние между центрами масс тел.
В данной задаче:
- Начальные массы обеих звезд обозначим как \( m \) (поскольку массы одинаковые).
- Изначальное расстояние между ними обозначим как \( r \).
Исходная сила притяжения \( F_1 \) будет равна:
\[ F_1 = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2} \]
Теперь рассмотрим новый случай, если масса каждой звезды увеличена в 3 раза, то новая масса станет \( 3m \). Если расстояние между центрами звезд уменьшено в 2 раза, то новое расстояние составит \( \frac{r}{2} \).
Теперь вычислим новую силу притяжения \( F_2 \):
\[ F_2 = G \frac{(3m)(3m)}{\left(\frac{r}{2}\right)^2} = G \frac{9m^2}{\frac{r^2}{4}} = G \frac{9m^2 \cdot 4}{r^2} = G \frac{36m^2}{r^2} \]
Теперь найдем во сколько раз увеличилась сила притяжения. Для этого делим новую силу на первоначальную:
\[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{G \frac{36m^2}{r^2}}{G \frac{m^2}{r^2}} = \frac{36m^2}{m^2} = 36 \]
Таким образом, модуль силы притяжения между звёздами увеличился в 36 раз.
