f(x) =-x2+2x-7 x0=-1 написать уравнение касательной

Чтобы найти уравнение касательной к функции \( f(x) = -x^2 + 2x - 7 \) в точке \( x_0 = -1 \), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти значение функции в точке \( x_0 \): \[ f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 7 = -1 - 2 - 7 = -10 \] Таким образом, координаты точки касания \( A(-1, -10) \).

2. Найти производную функции: Производная функции \( f(x) \) будет: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 2x - 7) = -2x + 2 \]

3. Вычислить производную в точке \( x_0 \): \[ f'(-1) = -2(-1) + 2 = 2 + 2 = 4 \] Это значение производной в точке \( x_0 \) определяет угол наклона касательной.

4. Записать уравнение касательной: Уравнение линии в точке \( A(x_0, f(x_0)) \) со значением производной \( f'(x_0) \) можно записать в форме: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \( m \) — наклон (в нашем случае \( 4 \)), а \( (x_0, y_0) = (-1, -10) \).

   Подставим: \[ y - (-10) = 4(x - (-1)) \] Это упростится до: \[ y + 10 = 4(x + 1) \] Раскроем скобки: \[ y + 10 = 4x + 4 \] Перепишем уравнение: \[ y = 4x + 4 - 10 \] Получаем окончательное уравнение касательной: \[ y = 4x - 6 \]

Таким образом, уравнение касательной к функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = -1 \) — это \( y = 4x - 6 \).