Сложите рациональные дроби: a/(a + 7) + (a ^ 2)/(49 - a ^ 2)

Чтобы сложить дроби \( \frac{a}{a + 7} + \frac{a^2}{49 - a^2} \), сначала найдем общий знаменатель.

1. Распишем \( 49 - a^2 \) как разность квадратов: \[ 49 - a^2 = (7 - a)(7 + a) \]

Теперь у нас есть дроби: \[ \frac{a}{a + 7} + \frac{a^2}{(7 - a)(7 + a)} \]

2. Общий знаменатель будет: \[ (a + 7)(7 - a)(7 + a) \]

3. Приведем дроби к общему знаменателю:

   • Для первой дроби \( \frac{a}{a + 7} \): \[ \frac{a(7 - a)(7 + a)}{(a + 7)(7 - a)(7 + a)} \]

   • Для второй дроби \( \frac{a^2}{(7 - a)(7 + a)} \): \[ \frac{a^2(a + 7)}{(7 - a)(7 + a)(a + 7)} \]

4. Теперь можем записать сумму: \[ \frac{a(7 - a)(7 + a) + a^2(a + 7)}{(a + 7)(7 - a)(7 + a)} \]

5. Упростим числитель:

   • Первую часть: \[ a(7 - a)(7 + a) = a(49 - a^2) = 49a - a^3 \]

   • Вторую часть: \[ a^2(a + 7) = a^3 + 7a^2 \]

6. Объединим всё в числителе: \[ 49a - a^3 + a^3 + 7a^2 = 49a + 7a^2 \]

7. Таким образом, итоговая сумма выглядит так: \[ \frac{7a^2 + 49a}{(a + 7)(7 - a)(7 + a)} \]

В итоге, мы имеем: \[ \frac{7a^2 + 49a}{(a + 7)(7 - a)(7 + a)} \]

Также можно вынести общий множитель в числителе: \[ \frac{7a(a + 7)}{(a + 7)(7 - a)(7 + a)} \]

8. И, в случае \( a \neq -7 \), сократим: \[ \frac{7a}{(7 - a)(7 + a)} \]

Итоговый ответ: \[ \frac{7a}{(7 - a)(7 + a)} \]