X^2+2x-1=x+1 модуль

Для решения уравнения \(x^2 + 2x - 1 = |x + 1|\) необходимо рассмотреть два случая, так как модуль имеет разные определения в зависимости от знака выражения внутри него.

Случай 1: \(x + 1 \geq 0\) (то есть \(x \geq -1\))

В этом случае модуль \( |x + 1| = x + 1\). Подставим в уравнение:

\[ x^2 + 2x - 1 = x + 1 \]

Переносим все элементы в одну сторону:

\[ x^2 + 2x - x - 1 - 1 = 0 \]

Этот шаг упрощается до:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем разложить его:

\[ (x - 1)(x + 2) = 0 \]

Следовательно, \(x = 1\) или \(x = -2\).

Поскольку мы рассматриваем случай \(x \geq -1\), то подходит только \(x = 1\).

Случай 2: \(x + 1 < 0\) (то есть \(x < -1\))

В этом случае модуль \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1\). Подставим в уравнение:

\[ x^2 + 2x - 1 = -x - 1 \]

Переносим все элементы в одну сторону:

\[ x^2 + 2x + x - 1 + 1 = 0 \]

Сократим:

\[ x^2 + 3x = 0 \]

Факторизуем:

\[ x(x + 3) = 0 \]

Следовательно, \(x = 0\) или \(x = -3\).

Поскольку мы рассматриваем случай \(x < -1\), то подходит только \(x = -3\).

Итог: Решениями уравнения \(x^2 + 2x - 1 = |x + 1|\) являются \(x = 1\) и \(x = -3\).