1. В трапеции ABCD ВС - меньшее основание. На отрезке AD взята точка Е так, что BE || CD, LABE = 70°, LBEA = 50°. Найдите углы трапении. 2. В прямоугольной трапеции острый угол…

Решим задачи по очереди.

Задача 1

Дано: трапеция ABCD, в которой BC - меньшее основание; BE || CD; ∠ABE = 70°, ∠BEA = 50°.

1. Из условия BE || CD и углов трапеции, можно воспользоваться свойствами внешних углов. Так, угол DAB (внешний для треугольника ABE) можно найти как разность 180° и ∠ABE + ∠BEA: \[ \angle DAB = 180° - 70° - 50° = 60° \]

2. Угол DBC равен углу BAE, так как они накрест лежащие: \[ \angle DBC = \angle BAE = 50° \]

3. Далее мы можем найти остальные углы, поскольку в трапеции сумма углов равна 360°: \[ \angle ABC + \angle BCD + \angle DAB + \angle DBC = 360° \] Подставим уже найденные: \[ \angle ABC + \angle BCD + 60° + 50° = 360° \] Упрощаем: \[ \angle ABC + \angle BCD = 250° \]

4. Поскольку BC меньшее основание и BE || CD, угол ABC равен углу DCB: \[ 2 \cdot \angle ABC = 250° \] Таким образом, угол ABC равен: \[ \angle ABC = 125° \]

5. Угол BCD также равен 125°.

Итак, в трапеции ABCD углы равны:

• ∠DAB = 60°
• ∠ABC = 125°
• ∠BCD = 125°
• ∠DCA = 60°

Задача 2

Дано: прямоугольная трапеция, острый угол равен 45°; меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по 10 см.

1. В прямоугольной трапеции есть два прямых угла, и по свойству угла в 45° (так как он острый) образуются равнобедренные треугольники:
   Обозначим меньшую сторону - 10 см (A), меньшую боковую - 10 см (B), а большую сторону - X.

2. Легко заметить, что по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного меньшим основанием, меньшей боковой и высотой (которая также равна 10 см, так как мы имеем прямоугольный треугольник): \[ (AB^2 = AC^2 + BC^2) \rightarrow (10^2 = 10^2 + h^2) \] Тут h это высота, которая равна 10 см в соответствии с равнобедренным треугольником: \[ h = 10 \]

3. Теперь можем найти большее основание: Поскольку у нас идет прямое основание, мы должны будем его посчитать: \[ BC = h + 10 = 10 + 10 = 20 см \]

Таким образом, большее основание равно 20 см.

Задача 3

Дано: равнобедренная трапеция, диагональ делает угол 120° с боковой стороной, боковая сторона равна меньшему основанию.

1. Обозначим меньшую основание через a и боковую сторону через b (где b = a).
2. Угол между диагональю и боковой стороной равен 120°. В таком случае, угол между диагональю и меньшим основанием равен 180° - 120° = 60°.
3. Обозначим углы трапеции: ∠A = x и ∠B = x, ∠C = 180° - x и ∠D = 180° - x. Поскольку это равнобедренная трапеция, такие углы равны.
4. Сумма углов в трапеции 360°: \[ x + x + (180 - x) + (180 - x) = 360 \rightarrow 2x + 360 - 2x = 360 \] Получаем, что углы в равнобедренной трапеции: \[ x = 60° \]

Таким образом, углы трапеции равны:

• ∠A = 60°
• ∠B = 60°
• ∠C = 120°
• ∠D = 120°

Задача 4

Дано: прямоугольная трапеция с острым углом 60°.

1. Обозначим верхнее основание a и нижнее b. По условию, такой угол с меньшей диагональю будет равен 60°.
2. Используем свойства треугольников и соотношения в прямоугольной трапеции, учитывая что углы 60° и 30°.
3. Обозначим боковую сторону через h. По теореме синусов, в этом случае можно представить отношение оснований как: \[ \frac{a}{b} = \frac{\sin(60°)}{\sin(30°)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \] Таким образом, отношение оснований а и b будет = √3.

Итак, итоговые решения задач:

1. Углы трапеции ABCD: 60°, 125°, 125°, 60°.
2. Большее основание: 20 см.
3. Углы равнобедренной трапеции: 60°, 60°, 120°, 120°.
4. Отношение оснований: √3.