решите уравнение |x^2-x-1|=1

Чтобы решить уравнение \(|x^2 - x - 1| = 1\), начнем с раскрытия модуля. Это уравнение можно разбить на два отдельных случая:

1. Первый случай: \(x^2 - x - 1 = 1\)
2. Второй случай: \(x^2 - x - 1 = -1\)

Решим каждый из этих случаев по отдельности.

Первый случай: \(x^2 - x - 1 = 1\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ x^2 - x - 1 - 1 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \]

Теперь можно разложить это уравнение на множители или использовать дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим их:

\[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом:

\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

Второй случай: \(x^2 - x - 1 = -1\)

Также приводим уравнение к стандартному виду:

\[ x^2 - x - 1 + 1 = 0 \implies x^2 - x = 0 \]

Это уравнение можно решить, вынеся \(x\) за скобки:

\[ x(x - 1) = 0 \]

Следовательно, \(x = 0\) или \(x = 1\).

Итоговые корни

Мы нашли четыре корня уравнения:

1. \(x_1 = 2\)
2. \(x_2 = -1\)
3. \(x_3 = 0\)
4. \(x_4 = 1\)

Таким образом, решение уравнения \(|x^2 - x - 1| = 1\) это:

\[ x = -1, 0, 1, 2 \]