В треугольнике ABC угол А равен 30°, угол В равен 60°, ВС=2√6. найдите АС
Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где угол \( A = 30^\circ \), угол \( B = 60^\circ \) и сторона \( BC = 2\sqrt{6} \), можем использовать закон синусов.
Сначала найдем угол \( C \). Сумма углов треугольника всегда равна \( 180^\circ \):
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ. \]
Таким образом, треугольник \( ABC \) является прямоугольным с прямым углом при вершине \( C \).
Теперь применим закон синусов:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]
где:
- \( a = BC = 2\sqrt{6} \),
- \( b = AC \),
- \( c = AB \).
Для нашего случая мы можем записать:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{2\sqrt{6}}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ}. \]
Зная, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:
\[ \frac{2\sqrt{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
Упростим левую часть:
\[ 2\sqrt{6} \cdot 2 = 4\sqrt{6}. \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ 4\sqrt{6} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]
Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[ AC = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}. \]
Таким образом, длина стороны \( AC \) равна \( 6\sqrt{2} \).
