найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х2-корень х х принадлежит 1,4
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = x^2 - \sqrt{x} \) на заданном промежутке \( x \in [1, 4] \), нужно выполнить несколько шагов.
Найдите производную функции для поиска критических точек: \[ y' = 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
Приравняйте производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0. \]
Умножим уравнение на \( 2\sqrt{x} \): \[ 4x\sqrt{x} - 1 = 0. \] Отсюда: \[ 4x\sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = \frac{1}{4x} \quad \Rightarrow \quad x^{3/2} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \left(\frac{1}{4}\right)^{2/3}. \]
Для дальнейших расчетов упростим это: \[ x = \frac{1}{2} \quad (\text{не входит в интервал [1, 4]}). \]
Проверим значения функции в границах интервала:
- Для \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0. \]
- Для \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^2 - \sqrt{4} = 16 - 2 = 14. \]
Сравните значения:
- \( y(1) = 0 \)
- \( y(4) = 14 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \( [1, 4] \) равно 14, а наименьшее значение равно 0.
Таким образом, наибольшее значение функции — 14, наименьшее значение — 0.
