Докажите, что четырехугольник PSQT, заданный координатами своих вершин Р(3; 0), S(–1; 3), Q(–4; –1), T(0; –4), является квадратом, и вычислите его площадь.
Чтобы доказать, что четырехугольник PSQT является квадратом, нужно проверить, что он имеет четыре равные стороны и два угла по 90 градусов.
Нахождение длин сторон: Используем формулу расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Длина стороны PS: \[ PS = \sqrt{((-1) - 3)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Длина стороны SQ: \[ SQ = \sqrt{((-4) - (-1))^2 + ((-1) - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Длина стороны QT: \[ QT = \sqrt{(0 - (-4))^2 + ((-4) - (-1))^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Длина стороны TP: \[ TP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Все четыре стороны равны: PS = SQ = QT = TP = 5.
Нахождение углов: Чтобы проверить, что углы равны 90 градусов, можно использовать скалярное произведение векторов.
Вектор PS: \[ \vec{PS} = S - P = (-1 - 3, 3 - 0) = (-4, 3) \]
Вектор SQ: \[ \vec{SQ} = Q - S = (-4 - (-1), -1 - 3) = (-3, -4) \]
Скалярное произведение \(\vec{PS} \cdot \vec{SQ}\): \[ \vec{PS} \cdot \vec{SQ} = (-4)(-3) + (3)(-4) = 12 - 12 = 0 \]
Это значит, что угол PSQ равен 90 градусов.
Аналогично можно выполнить вычисления для других углов, и все они также будут равны 90 градусам.
Теперь мы можем заключить, что четырехугольник PSQT является квадратом, так как у него равные стороны и все углы равны 90 градусов.
- Вычисление площади квадрата: Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[ S = a^2 \] где \(a\) - длина стороны. В нашем случае: \[ S = 5^2 = 25 \]
Таким образом, четырехугольник PSQT является квадратом, и его площадь равна 25.
