моторная лолка прошла 91 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 20 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Нацлите мкоромть лодки в неподвижной воде
Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Обозначим:
- скорость лодки в неподвижной воде = \( v_{лодки} \) (км/ч)
- скорость течения реки = \( v_{течения} = 3 \) км/ч
Для движения вниз по течению лодки, ее общая скорость будет:
\[ v_{вниз} = v_{лодки} + v_{течения} = v_{лодки} + 3 \]
Для движения вверх по течению лодки, ее общая скорость будет:
\[ v_{вверх} = v_{лодки} - v_{течения} = v_{лодки} - 3 \]
В задаче говорится, что лодка прошла 91 км в одну сторону (по течению) и вернулась обратно. Подсчитаем время, которое было потрачено на каждую часть пути.
- Время на спуск вниз по течению:
\[ t_{вниз} = \frac{91}{v_{вниз}} = \frac{91}{v_{лодки} + 3} \]
- Время на подъем вверх по течению:
\[ t_{вверх} = \frac{91}{v_{вверх}} = \frac{91}{v_{лодки} - 3} \]
По условию задачи, общее время в пути составило 20 часов:
\[ t_{вниз} + t_{вверх} = 20 \]
Подставим наши выражения для времени:
\[ \frac{91}{v_{лодки} + 3} + \frac{91}{v_{лодки} - 3} = 20 \]
Теперь упростим уравнение. Умножим обе стороны на \( (v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3) \):
\[ 91(v_{лодки} - 3) + 91(v_{лодки} + 3) = 20(v_{лодки}^2 - 9) \]
Упрощаем левую часть:
\[ 91v_{лодки} - 273 + 91v_{лодки} + 273 = 20(v_{лодки}^2 - 9) \]
Соберем подобные:
\[ 182v_{лодки} = 20v_{лодки}^2 - 180 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 20v_{лодки}^2 - 182v_{лодки} - 180 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
\[ v_{лодки} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 20 \), \( b = -182 \), \( c = -180 \).
Сначала посчитаем дискриминант:
\[ D = (-182)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-180) = 33124 + 14400 = 47524 \]
Теперь находим корни:
\[ v_{лодки} = \frac{182 \pm \sqrt{47524}}{40} \] \[ \sqrt{47524} \approx 218 \]
Таким образом:
\[ v_{лодки} = \frac{182 \pm 218}{40} \]
Мы получаем два решения:
- \( v_{лодки} = \frac{400}{40} = 10 \) км/ч (положительное решение, имеет смысл)
- \( v_{лодки} = \frac{-36}{40} = -0.9 \) км/ч (отрицательное, не имеет смысла)
Итак, скорость лодки в неподвижной воде составляет 10 км/ч.
