докажите , чтл числа 2пи/3 и -4рт являются периодами функции f(x) =cos 3x

Чтобы доказать, что числа \( \frac{2\pi}{3} \) и \( -4\pi \) являются периодами функции \( f(x) = \cos(3x) \), необходимо понять, что такое период функции.

Функция \( f(x) \) называется периодической, если существует такое положительное число \( T \) (период), что для любого \( x \) выполняется равенство:

\[ f(x + T) = f(x) \]

Для функции косинуса \( \cos(kx) \) период составляет

\[ T = \frac{2\pi}{k} \]

В данном случае, \( k = 3 \). Подставляем это значение в формулу для нахождения периода:

\[ T = \frac{2\pi}{3} \]

Это означает, что функция \( f(x) = \cos(3x) \) имеет период \( \frac{2\pi}{3} \). Проверим это:

\[ f\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(3\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = f(x) \]

Таким образом, \( \frac{2\pi}{3} \) действительно является периодом функции.

Теперь рассмотрим второй период, который равен \( -4\pi \). Поскольку период функции может повторяться через любое целое число периодов, мы можем выразить этот период через базовый период \( \frac{2\pi}{3} \). Для этого найдем, насколько \( -4\pi \) соответствует базовому периоду:

\[ -4\pi = -6 \times \frac{2\pi}{3} \]

Здесь -6 — это целое число, что указывает на то, что \( -4\pi \) также является кратным базовому периоду. Это позволяет делать вывод, что:

\[ f(x - 4\pi) = f(x) \]

Таким образом, мы доказали, что оба числа \( \frac{2\pi}{3} \) и \( -4\pi \) являются периодами функции \( f(x) = \cos(3x) \).