найти первообразную х корень из х - 3/корень из х
Чтобы найти первообразную функции \( x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} \), нам нужно сначала упростить выражение и затем использовать правила интегрирования.
Упрощение выражения:
Мы можем переписать \( x \sqrt{x} \) как \( x^{3/2} \) и \( \frac{3}{\sqrt{x}} \) как \( 3x^{-1/2} \). Таким образом, выражение становится:
\[ x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} = x^{3/2} - 3x^{-1/2} \]
Интегрирование:
Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно.
\[ \int (x^{3/2} - 3x^{-1/2}) \, dx = \int x^{3/2} \, dx - 3 \int x^{-1/2} \, dx \]
Интеграл \( \int x^{n} \, dx \) вычисляется по формуле \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
Для первого интеграла \( \int x^{3/2} \, dx \):
\[ \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2} \]
Для второго интеграла \( 3 \int x^{-1/2} \, dx \):
\[ 3 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 3 \cdot 2x^{1/2} = 6x^{1/2} \]
Соединяем результаты:
Теперь объединим результаты:
\[ \int (x^{3/2} - 3x^{-1/2}) \, dx = \frac{2}{5} x^{5/2} - 6x^{1/2} + C \]
Таким образом, первообразная функции \( x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} \) будет равна:
\[ \frac{2}{5} x^{5/2} - 6x^{1/2} + C \]
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
