Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13 раз»?

Question 1

Задача Задача №1767710

А

Аноним

08 октября 2024 12:02 · публичный вопрос

А

Аноним 08 октября 2024 12:02

Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13 раз»?

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте используем формулу для вероятности получения определённого количества успешных исходов (в нашем случае — «орел» или «решка») при многократном подбрасывании монеты. Эта вероятность описывается биномиальным распределением:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

\(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдёт \(k\) раз,
\(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, определяющий количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний (число сочетаний),
\(p\) — вероятность успеха (для справедливой монеты \(p = 0.5\)),
\(n\) — общее количество испытаний,
\(k\) — количество успешных исходов.

В нашем случае подбрасывание монеты происходит \(n = 16\) раз.

Для события «монета выпала решкой ровно 10 раз»: \[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{6} = C(16, 10) \cdot (0.5)^{16} \]

Для события «монета выпала решкой ровно 13 раз»: \[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{3} = C(16, 13) \cdot (0.5)^{16} \]

Теперь мы можем вычислить биномиальные коэффициенты. Напомним, что биномиальные коэффициенты определяются как: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Для \(C(16, 10)\): \[ C(16, 10) = \frac{16!}{10!6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 \]

Для \(C(16, 13)\): \[ C(16, 13) = \frac{16!}{13!3!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \]

Теперь можем найти вероятность для каждого события: \[ P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} \] \[ P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} \]

Теперь найдем отношение вероятностей: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Посчитаем это отношение: \[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 16}{560 \div 16} = \frac{500.5}{35} = 14.3 \]

Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» примерно в 14.3 раза.

Question 2

Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13 раз»?

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте используем формулу для вероятности получения определённого количества успешных исходов (в нашем случае — «орел» или «решка») при многократном подбрасывании монеты. Эта вероятность описывается биномиальным распределением: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдёт \(k\) раз, - \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, определяющий количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний (число сочетаний), - \(p\) — вероятность успеха (для справедливой монеты \(p = 0.5\)), - \(n\) — общее количество испытаний, - \(k\) — количество успешных исходов. В нашем случае подбрасывание монеты происходит \(n = 16\) раз. Для события «монета выпала решкой ровно 10 раз»: \[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{6} = C(16, 10) \cdot (0.5)^{16} \] Для события «монета выпала решкой ровно 13 раз»: \[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{3} = C(16, 13) \cdot (0.5)^{16} \] Теперь мы можем вычислить биномиальные коэффициенты. Напомним, что биномиальные коэффициенты определяются как: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Для \(C(16, 10)\): \[ C(16, 10) = \frac{16!}{10!6!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 \] Для \(C(16, 13)\): \[ C(16, 13) = \frac{16!}{13!3!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \] Теперь можем найти вероятность для каждого события: \[ P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} \] \[ P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} \] Теперь найдем отношение вероятностей: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560} \] Посчитаем это отношение: \[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 16}{560 \div 16} = \frac{500.5}{35} = 14.3 \] Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» примерно в 14.3 раза.