найдите наименьшее Трехзначное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 даёт остаток 1, при делении на 5 даёт остаток 1 и которое записано тремя различными…

Давайте решим вашу задачу шаг за шагом. Нам нужно найти наименьшее трехзначное число, которое отвечает следующим условиям:

1. Делится на 2 с остатком 1.
2. Делится на 3 с остатком 1.
3. Делится на 5 с остатком 1.
4. Состоит из трех различных нечетных цифр.

Сначала обратим внимание на первое условие. Число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, должно быть нечетным. Но поскольку нам нужно, чтобы оно имело три разные нечетные цифры, это обязательно будет подходить, так как все нечетные цифры - 1, 3, 5, 7, 9.

Теперь рассмотрим числа, которые дают остаток 1 при делении на 3 и 5. Чтобы это проверить, нам нужно будет учесть, что:

• Число, дающее остаток 1 при делении на 5, может быть записано как \(5n + 1\), где \(n\) - целое число.
• Число, дающее остаток 1 при делении на 3, будет \(3m + 1\).

Число, отвечающее всем этим условиям, может быть представлено как:

\[ x = 2k + 1, \] для некотого целого \(k\) (поскольку оно нечётное).

Следовательно, чтобы соблюсти условия деления на 3 и 5:

1. \( x \equiv 1 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 1 \mod 5 \)

По принципу китайской теоремы об остатках, напишем, что:

• \( x \equiv 1 \mod 15 \) (так как 3 и 5 взаимно просты, мы можем комбинировать их).

Теперь нам нужно найти первое трехзначное число вида \(15k + 1\), начиная с \(k = 7\):

• Для \(k = 7\): \(15 \times 7 + 1 = 106\) (но тут не все цифры разные).
• Для \(k = 8\): \(15 \times 8 + 1 = 121\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 9\): \(15 \times 9 + 1 = 136\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 10\): \(15 \times 10 + 1 = 151\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 11\): \(15 \times 11 + 1 = 166\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 12\): \(15 \times 12 + 1 = 181\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 13\): \(15 \times 13 + 1 = 196\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 14\): \(15 \times 14 + 1 = 211\) (но цифры не разные).

Пробуем \(k = 15\):

• Для \(k = 15\): \(15 \times 15 + 1 = 226\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 16\): \(15 \times 16 + 1 = 241\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 17\): \(15 \times 17 + 1 = 256\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 18\): \(15 \times 18 + 1 = 271\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 19\): \(15 \times 19 + 1 = 286\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 20\): \(15 \times 20 + 1 = 301\) (но цифры не разные).

После пробного поиска будет видно, что 315:

• Для \(k = 21\): \(15 \times 21 + 1 = 316\) (цифры не разные).

И продолжаем до 375:

• Для \(k = 23\): \(15 \times 23 + 1 = 346\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 24\): \(15 \times 24 + 1 = 361\) (но цифры не разные).
• Для \(k = 27\): \(15 \times 27 + 1 = 406\) (но цифры не разные).

В итоге, подходящее различное число будет 579, так как:

• 579 дает остаток 1 на 2, 3 и 5;
• Состоит из трех различных нечетных цифр: 5, 7 и 9.

Таким образом, наименьшее трехзначное число, которое соответствует всем условиям, это 579.