4(a+1)/a³-8+a/a²+2a+4+1/2-a
Чтобы решить выражение \( \frac{4(a+1)}{a^3 - 8} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} + \frac{1}{2 - a} \), давайте сначала упростим каждую часть по отдельности.
Первое слагаемое: \( \frac{4(a+1)}{a^3 - 8} \)
Мы знаем, что \( a^3 - 8 \) можно разложить как разность кубов: \[ a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) \] Таким образом, первое слагаемое можно переписать как: \[ \frac{4(a+1)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \]
Второе слагаемое: \( \frac{a}{a^2 + 2a + 4} \)
Это выражение уже в упрощённой форме, и мы можем оставить его как есть.
Третий слагаемое: \( \frac{1}{2 - a} \)
Здесь мы можем заметить, что если поменять знак в знаменателе, то получится: \[ \frac{1}{2 - a} = -\frac{1}{a - 2} \]
Теперь соберем все вместе. Мы хотим сложить: \[ \frac{4(a+1)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} + \frac{a}{a^2 + 2a + 4} - \frac{1}{a - 2} \]
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (a-2)(a^2 + 2a + 4) \).
Приведем первое слагаемое: \[ \frac{4(a+1)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \]
Приведем второе слагаемое к общему: \[ \frac{a(a-2)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^2 - 2a}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \]
Приведем третье слагаемое к общему: \[ -\frac{(a^2 + 2a + 4)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \]
Теперь сложим все вместе: \[ \frac{4(a+1) + a^2 - 2a - (a^2 + 2a + 4)}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} \]
Упростим числитель: \[ 4a + 4 + a^2 - 2a - a^2 - 2a - 4 = 0 \]
Итак, у нас получился итог: \[ \frac{0}{(a-2)(a^2 + 2a + 4)} = 0 \]
Таким образом, значение выражения равно 0.
