Тело массой m =1 кг, прикрепленное к пружине жесткости k = 4 Н м, совершает свободные гармонические колебания. Амплитуда колебаний 3 см, начальная фаза равна нулю. Запишите…

Давайте разберемся с задачей. У нас есть тело массой \( m = 1 \, \text{кг} \), прикреплённое к пружине с жёсткостью \( k = 4 \, \text{Н/м} \). Тело совершает свободные гармонические колебания с амплитудой \( A = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \) и начальной фазой, равной нулю.

Шаг 1: Запишите дифференциальное уравнение движения

Для свободных гармонических колебаний можно использовать стандартное дифференциальное уравнение второго порядка:

\[ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 \]

Замещая \( m \) и \( k \) нашими значениями:

\[ 1 \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 0 \]

Или, упрощая:

\[ \frac{d^2x}{dt^2} + 4x = 0 \]

Это дифференциальное уравнение описывает движение тела.

Шаг 2: Найдите решение уравнения

С решениями такого дифференциального уравнения мы можем использовать известные функции гармонического осциллятора:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

где:

• \( A \) — амплитуда (в нашем случае \( A = 0.03 \, \text{м} \)),
• \( \omega \) — угловая частота, которая определяется как \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2 \, \text{рад/с} \),
• \( \phi \) — начальная фаза, равная нулю.

Таким образом, подставляя значения, получим:

\[ x(t) = 0.03 \cos(2t) \]

Шаг 3: Проверка решения

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим \( x(t) \) в дифференциальное уравнение. Сначала найдем вторую производную:

\[ \frac{dx}{dt} = -0.03 \cdot 2 \sin(2t) = -0.06 \sin(2t) \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -0.06 \cdot 2 \cos(2t) = -0.12 \cos(2t) \]

Теперь подставим \( x(t) \) и \( \frac{d^2x}{dt^2} \) в уравнение:

\[ -0.12 \cos(2t) + 4(0.03 \cos(2t)) = -0.12 \cos(2t) + 0.12 \cos(2t) = 0 \]

Так как правая часть уравнения равна нулю, мы убедились, что полученное решение действительно является корректным.

Таким образом, мы получили и проверили решение дифференциального уравнения для данного тела, совершающего свободные гармонические колебания.