Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 — начальная масса изотопа (в мг), τ —…
Для расчёта изменения массы m m (в мг) радиоактивного изотопа при его распаде используется формула m = m 0 ⋅ 2 − τ T m=m 0 ⋅2 − T τ , где m 0 — начальная масса изотопа (в мг), τ — время, которое прошло от начального момента (в мин), T — период полураспада (в мин). Найди, через сколько минут масса изотопа составит 65 мг, если в начальный момент его масса была 520 мг, а период полураспада составляет 2 минуты.
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу изменения массы радиоактивного изотопа:
\[ m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}} \]
где:
- \( m_0 \) — начальная масса изотопа (520 мг),
- \( m \) — оставшаяся масса изотопа (65 мг),
- \( \tau \) — время, прошедшее с начала (в минутах),
- \( T \) — период полураспада (2 минуты).
Подставим известные значения в формулу и решим уравнение для нахождения \( \tau \):
- Подставим \( m_0 \), \( m \) и \( T \):
\[ 65 = 520 \cdot 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
- Разделим обе стороны на 520:
\[ \frac{65}{520} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
Это упрощается до:
\[ \frac{1}{8} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
- Мы знаем, что \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \). Таким образом, у нас есть:
\[ 2^{-3} = 2^{-\frac{\tau}{2}} \]
- Приравняем показательные степени:
\[ -3 = -\frac{\tau}{2} \]
- Умножим обе стороны на -1:
\[ 3 = \frac{\tau}{2} \]
- Умножим обе стороны на 2, чтобы найти \( \tau \):
\[ \tau = 6 \]
Ответ: масса изотопа составит 65 мг через 6 минут.
