-log2 (x²+3x)>0
Чтобы решить неравенство \(-\log_2 (x^2 + 3x) > 0\), нужно начать с преобразования.
Перепишем неравенство: \[ -\log_2 (x^2 + 3x) > 0 \] Это эквивалентно: \[ \log_2 (x^2 + 3x) < 0 \]
Логарифм меньше нуля, когда его аргумент находится в интервале от 0 до 1: \[ 0 < x^2 + 3x < 1 \]
Теперь решим обе части неравенства по отдельности.
Первая часть: \(x^2 + 3x > 0\)
Эта часть неравенства фактически определяет, при каких \(x\) выражение больше нуля.
Можно вынести \(x\) за скобки, получим: \[ x(x + 3) > 0 \]
Корни этого квадратного уравнения: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Чтобы определить знаки, рассмотрим промежутки:
- Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((-)(-)\) > 0.
- Для \(-3 < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \((-)(+)\) < 0.
- Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \((+)(+)\) > 0.
Таким образом, неравенство выполняется при \(x < -3\) и \(x > 0\).
Вторая часть: \(x^2 + 3x < 1\)
Для решения этого неравенства можно переписать его в виде: \[ x^2 + 3x - 1 < 0 \]
Находим корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 1 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \]
Корни будут равны: \[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \]
Определите, когда квадратный трехчлен меньше нуля — это произойдет между корнями. В этом случае необходимо проверить промежутки:
- При \(x < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}\) (например, \(x = -5\)): выражение положительное.
- При \(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\): выражение отрицательное.
- При \(x > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\) (например, \(x = 1\)): выражение положительное.
Объединение условий
Теперь объединяем результаты. Мы хотим:
- \(x < -3\) или \(x > 0\) (из первого неравенства)
- \(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\) (из второго неравенства)
Необходимо проверить, находится ли этот интервал в пределах первого условия.
Решение:
- Запишите конечные интервалы в виде:
- \(x < -3\) (входит в результат)
- И \(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\), вам нужно найти числовые значения, чтобы проанализировать, совпадает ли это с \(x > 0\).
Таким образом, окончательное решение будет: \[ x < -3 \quad \text{или} \quad \left(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}\right) \]
Это дает вам возможность задать значение для \(x\), основываясь на ваших потребностях. Если есть вопросы по каждому шагу, с радостью помогу!
