X² - 5x+4>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\).

1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

2. Корни уравнения: Теперь, зная дискриминант, можем найти корни с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \] Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\).

3. Разделим числовую прямую на интервалы: Корни делят числовую прямую на три интервала: \((-∞, 1)\), \((1, 4)\) и \((4, ∞)\).

4. Проверим знак на каждом интервале:

   • Для интервала \((-∞, 1)\): возьмем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \]
   • Для интервала \((1, 4)\): возьмем, например, \(x = 2\): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 \]
   • Для интервала \((4, ∞)\): возьмем, например, \(x = 5\): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 \]

5. Соберем результаты: Мы установили, что:

   • Для интервала \((-∞, 1)\) выражение больше 0.
   • Для интервала \((1, 4)\) выражение меньше 0.
   • Для интервала \((4, ∞)\) выражение снова больше 0.

6. Запишем окончательный ответ: Таким образом, неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\) выполняется в интервалах: \[ x \in (-∞, 1) \cup (4, ∞) \]

Это значит, что для всех значений \(x\) из указанных интервалов неравенство будет выполняться.