x²- 5x+4>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 5x + 4 > 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\).

1. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\).

2. Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

3. Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \]

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 1\). Эти корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( (1, 4) \)
3. \( (4, \infty) \)

Далее, нам нужно определить, где выражение \(x^2 - 5x + 4\) положительно. Мы можем выполнить тестовые точки в каждом интервале.

• Для интервала \((-∞, 1)\), выберем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \quad \Rightarrow \text{верно} \]

• Для интервала \((1, 4)\), выберем \(x = 2\): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 \quad \Rightarrow \text{неверно} \]

• Для интервала \((4, ∞)\), выберем например \(x = 5\): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 \quad \Rightarrow \text{верно} \]

Теперь мы видим, что неравенство выполняется на интервалах \((-∞, 1)\) и \((4, ∞)\).

Следовательно, решение неравенства \(x^2 - 5x + 4 > 0\) можно записать так: \[ x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty) \]

Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!