Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Давайте решим эту задачу, используя обозначения для скорости и времени.
Обозначим скорость второго автомобиля как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля можно выразить как \( v + 24 \) км/ч.
Пусть время, которое затрачивает второй автомобиль на поездку, будет \( t \) часов. Так как первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше, его время в пути составит \( t - 2 \) часа.
Теперь мы можем использовать формулу для расстояния:
Для второго автомобиля: \[ 420 = v \cdot t \] Для первого автомобиля: \[ 420 = (v + 24)(t - 2) \]
Теперь у нас есть две уравнения. Давайте выразим \( t \) из первого уравнения: \[ t = \frac{420}{v} \]
Подставим это значение во второе уравнение: \[ 420 = (v + 24)\left(\frac{420}{v} - 2\right) \]
Умножим обе стороны уравнения: \[ 420 = (v + 24)\left(\frac{420 - 2v}{v}\right) \] \[ 420v = (v + 24)(420 - 2v) \]
Раскроем скобки: \[ 420v = 420v + 10080 - 2v^2 - 48v \]
Упростим уравнение, при этом \( 420v \) с обеих сторон сокращаются: \[ 0 = 10080 - 2v^2 - 48v \] \[ 2v^2 + 48v - 10080 = 0 \]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ v^2 + 24v - 5040 = 0 \]
Теперь можем использовать формулу квадратного уравнения \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = 24 \), и \( c = -5040 \).
Находим дискриминант: \[ D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5040) = 576 + 20160 = 20736 \] Теперь находим корни уравнения: \[ v = \frac{-24 \pm \sqrt{20736}}{2} = \frac{-24 \pm 144}{2} \]
Это дает два возможных значения:
- \( v = \frac{120}{2} = 60 \)
- \( v = \frac{-168}{2} = -84 \) (отрицательная скорость не имеет смысла в данном контексте)
Поскольку скорость второго автомобиля \( v = 60 \) км/ч, то скорость первого автомобиля: \[ v + 24 = 60 + 24 = 84 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 84 км/ч.
