Наименьшее значение параметра a,при котором система уравнений |x-100|+|y-100|=24 { y-ax+10a=10

Для нахождения наименьшего значения параметра \( a \), при котором система уравнений

\[ |x-100| + |y-100| = 24 \] \[ y - ax + 10a = 10 \]

имеет решение, рассмотрим каждое уравнение.

Первое уравнение описывает ромб с центром в точке (100, 100) и длиной диагонали 24. Его вершины находятся в том числе в точках (124, 100), (76, 100), (100, 124) и (100, 76).

Второе уравнение можно переписать в виде:

\[ y = ax - 10a + 10 \]

Это уравнение представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом \( a \) и сдвигом по оси y, зависящим от \( a \).

Чтобы система имела решение, прямая должна пересекаться с ромбом. Это происходит, когда прямая проходит через какую-либо из вершин ромба или пересекает его границы.

Определим условия для того, чтобы прямая пересекала плоскость, где находится ромб. Подставляя координаты одной из вершин ромба в уравнение прямой, можно найти значения \( a \):

1. Подставим точку (124, 100):

\[ 100 = a(124) - 10a + 10 \]

Решаем это уравнение:

\[ 100 = 124a - 10a + 10 \] \[ 100 - 10 = 114a \] \[ 90 = 114a \] \[ a = \frac{90}{114} = \frac{15}{19} \]

2. Подставим точку (76, 100):

\[ 100 = a(76) - 10a + 10 \]

Решаем аналогично:

\[ 100 = 76a - 10a + 10 \] \[ 100 - 10 = 66a \] \[ 90 = 66a \] \[ a = \frac{90}{66} = \frac{15}{11} \]

3. Подставим точку (100, 124):

\[ 124 = a(100) - 10a + 10 \]

Решаем:

\[ 124 = 100a - 10a + 10 \] \[ 124 - 10 = 90a \] \[ 114 = 90a \] \[ a = \frac{114}{90} = \frac{57}{45} = \frac{19}{15} \]

4. Подставим точку (100, 76):

\[ 76 = a(100) - 10a + 10 \]

Решаем:

\[ 76 = 100a - 10a + 10 \] \[ 76 - 10 = 90a \] \[ 66 = 90a \] \[ a = \frac{66}{90} = \frac{11}{15} \]

Теперь у нас есть значения \( a \):

• \( a = \frac{15}{19} \)
• \( a = \frac{15}{11} \)
• \( a = \frac{19}{15} \)
• \( a = \frac{11}{15} \)

Наименьшее значение из этих чисел:

\[ \text{Наименьшее значение } a = \frac{15}{19} \]

Заключение: наименьшее значение параметра \( a \), при котором система уравнений имеет решение, равно \( \frac{15}{19} \).