x³+√4x

Чтобы решить уравнение \( x^3 + \sqrt{4x} = 0 \), начнём с того, что разложим его на составляющие, чтобы понять, как можно найти значения \( x \).

1. Преобразуем уравнение: Мы имеем \( x^3 + \sqrt{4x} = 0 \). Можно заметить, что \( \sqrt{4x} = 2\sqrt{x} \), тогда уравнение можно переписать как: \[ x^3 + 2\sqrt{x} = 0 \]

2. Преобразование: Это уравнение можно переписывать в виде: \[ x^3 = -2\sqrt{x} \]

   Обратите внимание, что для уравнения \( x^3 + 2\sqrt{x} = 0 \) правая часть будет отрицательной, когда \( \sqrt{x} \) положительно, а значит \( x \) не может принимать положительные значения для этого равенства. Это значит, что мы ищем только неотрицательные корни.

3. Найдем корни: Попробуем подставить некоторые неотрицательные значения \( x \), например \( x = 0 \): \[ 0^3 + 2\sqrt{0} = 0 + 0 = 0 \] Таким образом, \( x = 0 \) является решением.

4. Ищем другие корни: Поскольку левая часть — это кубическая функция, а правая — функция, содержащая квадратный корень, можно предположить, что других неотрицательных решений нет. Для того чтобы проверить, так ли это, запишем производную левой части: \[ f(x) = x^3 + 2\sqrt{x} \] Найдем производную: \[ f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} \]

   Так как \( 3x^2 \) всегда неотрицательно, и также \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) определена только для \( x > 0 \) и неотрицательна для \( x > 0 \), это говорит о том, что функция \( f(x) \) возрастает при \( x > 0 \). Таким образом, другие решения не будет.

5. Ответ: Таким образом, единственное решение уравнения \( x^3 + 2\sqrt{x} = 0 \) — это \( x = 0 \).