реши дробно рациональное неравенство х^3-7х/2х+3×3х-8≥0
Чтобы решить дробно-рациональное неравенство \((x^3 - 7x) / (2x + 3 \cdot 3x - 8) \geq 0\), давайте сначала упростим его.
- Упрощение неравенства.
Начнем с числителя: \[ x^3 - 7x = x(x^2 - 7) \] Факторы: \(x\) и \(x^2 - 7\) (которое можно записать как \((x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})\)).
Теперь рассмотрим знаменатель: \[ 2x + 3 \cdot 3x - 8 = 2x + 9x - 8 = 11x - 8 \] Таким образом, мы можем записать неравенство как: \[ \frac{x(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})}{11x - 8} \geq 0 \]
- Определение нулей и знаков.
Теперь находим нули числителя и знаменателя:
- Нули числителя: \(x = 0\), \(x = \sqrt{7}\), \(x = -\sqrt{7}\)
- Нули знаменателя: \(11x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{11}\)
Точки, где функция может поменять знак: \(x = -\sqrt{7}, 0, \frac{8}{11}, \sqrt{7}\).
- Исследование знаков.
Теперь откроем интервалы, которые получаются от этих нулей:
- \( (-\infty, -\sqrt{7}) \)
- \( (-\sqrt{7}, 0) \)
- \( (0, \frac{8}{11}) \)
- \( (\frac{8}{11}, \sqrt{7}) \)
- \( (\sqrt{7}, +\infty) \)
Мы проверим знак функции в каждом из интервалов:
Для \(x < -\sqrt{7}\) (например, \(x = -3\)): \[ \frac{(-)(-)(-)}{-} > 0 \Rightarrow положительный. \]
Для \(-\sqrt{7} < x < 0\) (например, \(x = -1\)): \[ \frac{(-)(+)(-)}{-} > 0 \Rightarrow положительный. \]
Для \(0 < x < \frac{8}{11}\) (например, \(x = \frac{1}{2}\)): \[ \frac{(+)(-)(+)}{-} < 0 \Rightarrow отрицательный. \]
Для \(\frac{8}{11} < x < \sqrt{7}\) (например, \(x = 1\)): \[ \frac{(+)(-)(+)}{+} > 0 \Rightarrow положительный. \]
Для \(x > \sqrt{7}\) (например, \(x = 3\)): \[ \frac{(+)(+)(+)}{+} > 0 \Rightarrow положительный. \]
- Запись решения.
Теперь, учитывая, что нам нужно, чтобы дробь была больше или равна нулю, и учитывая точки, где дробь равна нулю:
- Нули числителя: \(x = -\sqrt{7}, 0, \sqrt{7}\) (включаются).
- Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(x = \frac{8}{11}\) не включается в решение.
Итак, итоговое решение будет: \[ (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [-\sqrt{7}, 0] \cup \left(\frac{8}{11}, \sqrt{7}\right] \cup [\sqrt{7}, +\infty) \]
Это означает, что неравенство выполняется на этих интервалах.
