Даны две правильные четырёхугольные призмы. Первая призма в четыре с половиной раза выше второй, а вторая вчетверо уже первой. Во сколько раз объём первой призмы больше объёма второй?
Для решения задачи о объемах правильных четырёхугольных призм, давайте используем основные формулы и соотношения.
Объем правильной четырехугольной призмы рассчитывается по формуле:
\[ V = S \cdot h \]
где \( V \) — объем призмы, \( S \) — площадь основания (квадрат), а \( h \) — высота призмы.
Подразумеваем, что у нас есть две призмы:
- Первая призма с высотой \( h_1 = 4.5 \cdot h_2 \) и основанием \( S_1 = a^2 \).
- Вторая призма с высотой \( h_2 \) и основанием \( S_2 = b^2 \), где \( b = \frac{1}{4} a \) (поскольку вторая призма вчетверо уже первой).
Теперь найдем площади оснований:
Для первой призмы: \[ S_1 = a^2 \]
Для второй призмы: \[ S_2 = b^2 = \left(\frac{1}{4}a\right)^2 = \frac{1}{16}a^2 \]
Теперь можем вычислить объемы:
Объем первой призмы: \[ V_1 = S_1 \cdot h_1 = a^2 \cdot h_1 = a^2 \cdot (4.5 \cdot h_2) = 4.5a^2h_2 \]
Объем второй призмы: \[ V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{1}{16}a^2 \cdot h_2 \]
Теперь нужно найти отношение объемов:
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{4.5a^2h_2}{\frac{1}{16}a^2h_2} \]
Сократим \( a^2 \) и \( h_2 \):
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{4.5}{\frac{1}{16}} = 4.5 \cdot 16 = 72 \]
Таким образом, объем первой призмы в 72 раза больше объема второй призмы.
