Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 48км/ч, а вторую половину пути…

Для решения этой задачи давайте обозначим:

• скорости первого автомобиля как \( v_1 \) (км/ч);
• расстояние от точки А до точки В как \( L \) (км);
• скорость второго автомобиля во второй половине пути как \( v_2 = v_1 + 32 \) (км/ч).

Первый автомобиль проехал весь путь \( L \) со скоростью \( v_1 \), значит время, которое он затратил на путь, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{L}{v_1}. \]

Второй автомобиль проехал первую половину пути \( \frac{L}{2} \) со скоростью \( 48 \) км/ч. Время, которое он затратил на первую половину пути, будет: \[ t_{2,1} = \frac{\frac{L}{2}}{48} = \frac{L}{96}. \]

Для второй половины пути он проехал также \( \frac{L}{2} \), но со скоростью \( v_2 = v_1 + 32 \) км/ч. Время, которое он затратил на вторую половину пути: \[ t_{2,2} = \frac{\frac{L}{2}}{v_2} = \frac{\frac{L}{2}}{v_1 + 32} = \frac{L}{2(v_1 + 32)}. \]

Общее время для второго автомобиля: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{L}{96} + \frac{L}{2(v_1 + 32)}. \]

Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно в точку В, их времена равны: \[ \frac{L}{v_1} = \frac{L}{96} + \frac{L}{2(v_1 + 32)}. \]

Упростим это уравнение, разделив обе стороны на \( L \) (предполагаем, что \( L \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2(v_1 + 32)}. \]

Теперь нужно найти общий знаменатель для правой части: \[ \frac{1}{96} + \frac{1}{2(v_1 + 32)} = \frac{2(v_1 + 32) + 96}{192(v_1 + 32)} = \frac{2v_1 + 64 + 96}{192(v_1 + 32)} = \frac{2v_1 + 160}{192(v_1 + 32)}. \]

Приравняем обе стороны: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 160}{192(v_1 + 32)}. \]

Теперь перемножим: \[ 192(v_1 + 32) = v_1(2v_1 + 160). \]

Раскроем скобки: \[ 192v_1 + 6144 = 2v_1^2 + 160v_1. \]

Переносим все в одну сторону: \[ 2v_1^2 + 160v_1 - 192v_1 - 6144 = 0, \] что упрощается до \[ 2v_1^2 - 32v_1 - 6144 = 0. \]

Делим всё на 2: \[ v_1^2 - 16v_1 - 3072 = 0. \]

Решаем это квадратное уравнение по формуле: \[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3072)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 12288}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{12544}}{2} = \frac{16 \pm 112}{2}. \]

Находим корни:

1. \( v_1 = \frac{128}{2} = 64 \) км/ч.
2. \( v_1 = \frac{-96}{2} = -48 \) км/ч (отрицательное значение не имеет смысла).

Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 64 км/ч.