повторим алгоритм решения дробно -рациональных уравнений;решить уравнение 2/х+3+1=х²-10/х²-9
Конечно! Давайте повторим алгоритм решения дробно-рациональных уравнений и решим данное уравнение.
Обозначим уравнение: \[ \frac{2}{x + 3} + 1 = \frac{x^2 - 10}{x^2 - 9} \]
Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Для этого удобно выразить 1 в дробной форме, чтобы упростить уравнение: \[ \frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{x + 3} = \frac{x^2 - 10}{x^2 - 9} \] Получим: \[ \frac{2 + x + 3}{x + 3} = \frac{x^2 - 10}{x^2 - 9} \] Это упрощается до: \[ \frac{x + 5}{x + 3} = \frac{x^2 - 10}{x^2 - 9} \]
Перемножим крест-накрест (сначала умножим обе стороны на знаменатели, чтобы избавиться от дробей). Это даст нам: \[ (x + 5)(x^2 - 9) = (x + 3)(x^2 - 10) \]
Раскроем скобки: \[ x^3 - 9x + 5x^2 - 45 = x^3 + 3x^2 - 10x - 30 \]
Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения: \[ x^3 - 9x + 5x^2 - 45 - x^3 - 3x^2 + 10x + 30 = 0 \] Упростим: \[ 2x^2 + x - 15 = 0 \]
Решим квадратное уравнение \(2x^2 + x - 15 = 0\), используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 \]
Найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 11}{4} \] Нам дают два корня: \[ x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] \[ x_2 = \frac{-12}{4} = -3 \]
Проверим найденные корни на допустимость. Мы должны убедиться, что они не приводят к делению на ноль в изначальном уравнении:
- Для \(x_1 = \frac{5}{2}\): \(x + 3 = \frac{5}{2} + 3\) (не равно нулю)
- Для \(x_2 = -3\): \(x + 3 = -3 + 3 = 0\) (недопустимо)
Таким образом, единственным допустимым решением является: \[ \boxed{\frac{5}{2}} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения по какой-либо части решения, не стесняйтесь спрашивать!
