Числа хі у додатні, причому х+у =5. Яке найменше значення може приймати вираз 1/х +1/у

Для решения данной задачи, начнем с условия \(x + y = 5\), где \(x\) и \(y\) - положительные числа. Нам нужно минимизировать выражение \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \).

Сначала мы можем выразить \(y\) через \(x\): \[ y = 5 - x. \] Теперь подставим \(y\) в исходное выражение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x}. \]

Теперь упростим это выражение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} = \frac{(5 - x) + x}{x(5 - x)} = \frac{5}{x(5 - x)}. \]

Чтобы минимизировать \( \frac{5}{x(5 - x)} \), нам нужно максимизировать произведение \(x(5 - x)\). Это произведение будет максимальным, когда \(x\) и \(y\) равны, учитывая симметрию. То есть, \(x = y\).

При \(x + y = 5\) и \(x = y\), мы имеем: \[ x = y = \frac{5}{2}. \]

Теперь подставим это значение обратно в наше произведение: \[ x(5 - x) = x(5 - x) = \frac{5}{2} \left(5 - \frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4}. \]

Теперь подставим это значение в минимизируемое выражение: \[ \frac{5}{x(5 - x)} = \frac{5}{\frac{25}{4}} = \frac{5 \cdot 4}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}. \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) составляет \(\frac{4}{5}\).