Дано: ∆АВС, А(-2; 0; 1), B(-1; 2; 3 ), C( 8; -4; 9 ). Найти: a) угол A, угол B, угол C; в) Р∆АВС; г)Ѕ∆АВС

Давайте решим задачу, используя данные точки \( A(-2; 0; 1) \), \( B(-1; 2; 3) \) и \( C(8; -4; 9) \) для треугольника \( \Delta ABC \).

a) Угол A, угол B, угол C

Для нахождения углов в треугольнике нам необходимо использовать векторы, образованные сторонами треугольника. Определим векторы:

• \( \vec{AB} = B - A = (-1 - (-2); 2 - 0; 3 - 1) = (1; 2; 2) \)
• \( \vec{AC} = C - A = (8 - (-2); -4 - 0; 9 - 1) = (10; -4; 8) \)
• \( \vec{BC} = C - B = (8 - (-1); -4 - 2; 9 - 3) = (9; -6; 6) \)

Теперь, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]

где \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) – скалярное произведение, а \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \) – длины векторов.

1. Угол A:

Для угла A нам нужно векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

• Скалярное произведение: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 10 + 2 \cdot (-4) + 2 \cdot 8 = 10 - 8 + 16 = 18 \]
• Длину векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{10^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \]
• Таким образом: \[ \cos A = \frac{18}{3 \cdot 6\sqrt{5}} = \frac{18}{18\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

2. Угол B:

Для угла B используем векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \):

• Скалярное произведение: \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1; -2; -2) \cdot (9; -6; 6) = -1 \cdot 9 + (-2) \cdot (-6) + (-2) \cdot 6 = -9 + 12 - 12 = -9 \]
• Длину векторов: \[ |\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 3 \] \[ |\vec{BC}| = \sqrt{9^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} \]
• Таким образом: \[ \cos B = \frac{-9}{3 \cdot \sqrt{153}} = \frac{-3}{\sqrt{153}} \]

3. Угол C:

Для угла C используем векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \):

• Скалярное произведение: \[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-10; 4; -8) \cdot (-9; 6; -6) = -10 \cdot -9 + 4 \cdot 6 + (-8) \cdot (-6) = 90 + 24 + 48 = 162 \]
• Длину векторов: \[ |\vec{CA}| = 6\sqrt{5} \] \[ |\vec{CB}| = \sqrt{153} \]
• Таким образом: \[ \cos C = \frac{162}{6\sqrt{5} \cdot \sqrt{153}} = \frac{27}{\sqrt{5 \cdot 153}} \]

Теперь, углы можно найти с помощью арккосинуса.

б) P∆ABC

Периметр треугольника можно найти, сложив длины всех сторон:

• \( AB = |\vec{AB}| = 3 \)
• \( AC = |\vec{AC}| = 6\sqrt{5} \)
• \( BC = |\vec{BC}| = \sqrt{153} \)

Таким образом, периметр: \[ P = AB + AC + BC = 3 + 6\sqrt{5} + \sqrt{153} \]

в) S∆ABC

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона. Сначала находим полупериметр \( s \): \[ s = \frac{P}{2} = \frac{3 + 6\sqrt{5} + \sqrt{153}}{2} \]

Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} \]

Подставив все известные значения, можно вычислить площадь \( S \).

Если вам нужно больше информации по каждому пункту или помочь с конкретными вычислениями, пожалуйста, сообщите мне!